فهرست
مقدمه
فرکتال چیست ؟
فرکتال کانتور
zi2 + zi = zi + 1 فرکتال مندلبرات :
نمونه هایی از فرکتال ها
کاربردهای فرکتال در علوم مختلف
فرکتال ها در معماری جدید
عصر شکوفایی معماری فرکتال
نمونه های دیگر از معماری فرکتال 
 
بيش از دو دهه است كه رابطه اي پيچيده و متناقض بين معماري و علوم پيچيده وجود داشته است . گر چه­از آن زمان اصل اين­رابطه تغيير يافته ، اما نقطه اتصالي به نام هندسه فركتال بين آنها وجود دارد . هم معماران و هم رياضي دانان ، هر كدام حول اين موضوع كه چه چيزي ممكن است يا ممكن نيست هندسه فركتال را به وجود آورده و تعاريفي ارايه داده اند كه به طرز ناباورانه­اي شباهت هاي كمي بين تعاريف آنها از معماري فركتال وجود دارد . از طرفي هر كدام از تعاريف نيز علامت تشخيص منحصر به فردي ندارد . گروه بزرگي از معماران با تجربه ، عقايد رياضيدانان را درباره ساخت محيط پيراموني رد كرده­اند ! ولي برخلاف آنان ، رياضي­دانان مشغول شناسايي تاريخ طولاني استفاده معماران از هندسه فركتال در طراحي­هاي شان هستند .هدف اين تحقيق تهيه يك تعريف قابل قبول هم براي معماران و هم براي رياضي دانان زمان پيشرفت و سقوط معماري فركتال در اواخر قرن بيستم است .
 
اين پروژه ، سه شرط يا سه قانون مشخص دارد كه وسعت آن را تعيين مي كند . اولاً ، از اعتبار هيچ ادعاي خاصي نه از جانب معماران و نه از جانب رياضي­دانان سوال نمي­ كند گرچه مداركي وجود دارد كه بتوان گفت ادعاهاي هر دو طرف قابل بحث است . ثانياً ، اين پروژه فقط مربوط به تلاش هاي هوشيارانه و آگاهانه اي است كه با استفاده از هندسه فركتال سعي در ايجاد معماري دارند . تعدادي از نمونه هاي برجسته ساختمان هاي تاريخي كه اشكال فركتال را به نمايش گذاشته اند و از سوي هر دو گروه معماران و رياضي دانان پيشنهاد شده اند . به عنوان اهداف اين پروژه مي توان ساختمانهاي فركتالي از قبيل كاخ هاي مختلف قرون وسطايي ، كليساهاي ناموزون و بي تناسب قرن هجدهم ، معبدهاي هندويي و آثار فرانك لويد رايت يا لوييس ساليوان را نام برد كه حتي اگر داراي يك مشخصه مستقيم و ملموس از هندسه فركتال باشند ، باز هم نمي توان آنها را جزو آثاري به حساب آورد كه صرفاً فركتالي و تنها به همين هدف ساخته شده باشند . به همين دليل پايه هاي معماري فركتال ( صرفاً به منظور فركتال ) تا بعد از هندسه فركتال كه توسط بنوت مندل بروت دراواخر سال 1970 شكل گرفت ، نمي تواند وجود داشته باشد . هر چند جرج سنتر ، ژوزف پيانو ، ديويد هيلبرت ، هلگ ون كك و كلاو سرپينسكي ، گستن جوليا و فليكس هازدرف مطالعاتي روي پروژه هاي بسيار عظيمي كه در هندسه فركتال پيش رو هستند ، انجام داده اند ولي همگي نادرست و غير اصولي و مي­توان گفت بيشتر متمايل به رياضي اند تا معماري , و در نهايت ، اين تحقيق مربوط به روابط بين هندسه فركتال و علوم پيچيده است . در حالي كه رياضي دانان و دانشجويان ، به هندسه فركتال در جاي خودش اهميت مي دهند ، معماران عموماً به خاطر رابطه آن با تئوري و تئوري كاوس يا نظريه آشوب و علوم پيچيده بيشتر به آن اهميت مي دهند . به اين دليل كه اين معماران معاصر هم مانند معماران تاريخي ، به هندسه و رياضيات علاقه چنداني ندارند . اما در واقع ارزش هندسه به خاطر توانايي آن براي ايجاد يك رابطه رمزي و مجازي با چيزهاي ديگر است . بنابراين براي معماران مدرن ، هندسه فركتال علاوه بر شناسايي نمونه جهاني كه از ديدگاه نيوتن و پاپلاس فاصله گرفته ، رابطه خوبي با طبيعت يا جهان برقرار كرده است . به اين دليل در اين پروژه ، اكثريت وسيعي از معماران ، هندسه فركتال را بخش كامل يا نشانه اي از تئوري كاوس و علم پيچيدگي قلمداد مي كنند .
نظریه آشفتگی:
 
ادوارد لارنز استاد علوم هواشناسی در دانشگاه M .I .T در آمریکا آشفتگی را
 
در دههء 70 میلادی مطرح کرد. واژه آشوب در بسياري از مقالات معماري كه
 
در سالهاي اخير به چاپ رسيده است به چشم مي خورد. قبل از آنكه ادلورنز
 
نظريه آشوب را طرح كند، انديشمندان تمامي پديده هاي جهان را تصادفي يا جبري مي پنداشتند، اما لورنز نظريه اي را مطرح كرد كه به تبع آن، برخي از پديده هاي جهان و چه بسا بسياري از آنها، ظاهري تصادفي داشته اما در واقع تابع قواعد بسيار پيچيده اي هستند.ماجرا از اين قرار است كه يك روز ادلورنز، هواشناس آمريكايي، پس از چند دقيقه استراحت كاري متوجه پديده شگفت آوري در رايانه خود شد. اين اتقاق در سال 1961 افتاد. در آن زمان لورنز در موسسه فن آوري ماساچوست كار مي كرد.
 
كار او تحقيقاتي در زمينه الگوهاي جو زمين بود. سالها بود كه هواشناسان روياي پيشگويي وضعيت آب و هوا را در سر داشتند، اما پيچيدگي قواعد حاكم بر جو زمين مانع اين امر بود.
 
از جمله اين پيچيدگي ها، كميت هايي نظير دما و سرعت بالا بود كه رابطهآنها با يكديگر بسيار پيچيده و تابع معادلاتي غير قابل پيش بيني بود. از آن جايي كه هيچگونه ارتباط مستقيم و ساده اي مابين اين كميت ها وجود ندارد، رياضيدان ها آنها را معاملات غيرخطي ناميده اند. به عنوان مثال افزايش 10درصدي دماي هوا لزوما باعث افزايش سرعت باد به همين ميزان نخواهد شد.
لورنز براي حل اين مسئله؛ يعني پيش بيني وضعيت آب و هوا، از يك رايانه استفاده مي كرد. با وجود اينكه رايانه او قادر به ارائه راه حل كلي براي اين
 
منظور نبود، اما دست كم اين امكان را براي او مهيا مي كرد كه در موارد خاص به بررسي نحوه رفتار آنها بپردازد. او علاقه زيادي به بررسي جريان هاي همرفت داشت و پس از برنامه نويسي براي معادلاتي كه به شرح پديده همرفت مي پرداختند، موفق شد يك منحني به كمك رايانه ترسيم كند. اما رايانه تنها مي توانست در هر ثانيه 60 عمل ضرب را انجام دهد. بنابراين او تصميم گرفت اين سرعت را افزايش دهد و به جاي اينكه هر بار فعاليت رايانه را از صفر آغاز كند، از مراحل مياني كاركرد قبلي را به رايانه داد سپس آن را به حال خود رها كرد و براي صرف قهوه به استراحت پرداخت.
 
زماني كه براي بررسي نتيجه كار بازگشت با پديده شگفت انگيزي روبه رو شد. او توقع داشت رايانه قبل از اتمام كار، تنها به تكرار نيمه دوم عملكردقبلي بپردازد، اما ديد كه رايانه از گزارش عملكرد خود امتناع مي كند. آغاز كار به
 
همان صورت قبل بود، اما در ادامه مسير ديگري را پيموده بود.
لورنز كه اين بار اعداد را تا حدود ناچيزي گرد كرده بود، مشاهده كرد كه اين
 
تغييرات كوچك منجر به تغييرات اساسي شده است. به اين ترتيب او بر حسب
 
اتفاق به كشف بزرگي نائل شد و آن را به اين ترتيب نوشت: زماني كه با
 
پديده هاي غيرخطي نظير شرايط جوي سرو كار داريم، تغييرات ناچيز ممكن است به نتايج عظيمي منجر شوند. لورنز اين پديده شگفت انگيز را تحت عنوان اثر پروانه جاودانه ساخت.
 
امروز دانشمندان اين نظريه را در انواع ديگري از پديده ها كه اثرات غير خطي دارند، بسط داده اند. حتي موقعيت ستارگان كه زماني به عنوان نمونه اي از پديده هاي قابل پيش بيني محسوب مي شدند اكنون تا حدود زيادي جز و پديده آشوب به حساب مي آيند و تمامي آنها در مقابل تغييرات كوچك حساسيت نشان
مي دهند و با تبديل رفتار آنها به حالتي تصادفي، وضعيتي غيرقابل پيش بيني پيدا مي كنند. با اين حال اين پديده ها در واقع تصادفي نيستند، بلكه قوانين حاكم بر آنها به حدي پيچيده است كه شباهت زيادي به تصادف دارند.
آشوب عنواني ست كه جيمز بورك، رياضيدان آمريكايي در سال 1975 بر اين حالت نهاد و آن را پديده اي بينابين نظم و تصادف محض دانست. اينكه يك پديده ظاهرا تصادفي را چه هنگام مي توان آشوب دانست مسئله مهمي است. دانشمندان در تشخيص حضور آشوب و شدت آن، راه هايي را يافته اند كه تا اندازه زيادي دامنه پيش بيني هاي آن را پوشش مي دهد. در يك رويداد واقعا تصادفي مثل قرعه كشي، هيچ ارتباطي بين پارامترها وجود ندارد، اگر در هر پنچ بار قرعه كشي پي در پي عدد 17 بيايد، احتمال بيرون آمدن عدد 17 در قرعه كشي بعدي نه كمتر و نه بيشتر است. هيچ راهي براي پيش بيني در چنين وضعيتي وجود ندارد. در اينگونه حوادث هيچ رابطه منطقي بين گذشته و آينده وجود ندارد. در مقابل، سيستم هاي منظمي نظير ساعت بلور كوارتز وجود دارند كه تا آينده اي دورقابل پيش بيني هستند.
 
تلاش هاي زيادي براي يافتن پديده آشوب در مدارك اقتصادي كه ظاهري تصادفي دارند نيز انجام شده است. رفتار تصادفي قابل بررسي در اموري نظير توليد ناخالص ملي يا نرخ تبادل ارز وجود دارد كه به صورت بالقوه قابل پيش بيني ست. به طور كلي پژوهشگران در حال بررسي پديده آشوب در حوزه هاي مختلفي از علم هستند و اين امر تبديل به يك حالت عمومي شده است.
اما تاثير آن در هنر و معماري نه به شكل علمي آن بلكه به عنوان يك روش طراحي بوده است. عده اي از هنرمندان اين روش را در طراحي به اين ترتيب به كار مي گيرند كه اطلاعاتي را به رايانه داده و امر طراحي را به خودرايانه واگذار مي كنند. اتفاقي كه مي افتد روشي شبيه به پديده هاي موجود درطبيعت است. در واقع اين روش طراحي الگوي خود را از پديده هاي مشابه در طبيعت كه طبق قاعده آشوب عمل مي كنند اقتباس كرده است. هنرمندان از همان دهه 60 آثاري را خلق كردند كه ظاهري تصادفي داشته باشد، اما تابع قواعد بسيار پيچيده اي هستند كه حتي ممكن است خود هنرمند نيز آگاهي كاملي از آن نداشته باشد.
 
لورنز در سال 1972 مقاله ای بنام (آیا حرکت بال پروانه دربرزیل باعث بوجود آمدن گردبادهای عظیم در تگزاس می شود؟) نوشت که این مقاله بنام اثر پروانه شهرت یافت.براساس این نظریه اتفاقات کوچک موجب رخ دادن اتفافات بزرگ می شود. به نظر لارنز به دلیل وجود آشفتگی تغییرات آب و هوایی را نمی توان پیش بینی کرد و همیشه این پیش بینی ها تقریبی است.
 
از این زمان به بعد به تدریج ریاضی آشفتگی و علم آشفتگی مطرح شد. ریاضی آشفتگی توسط بنوت مندل بروت ریاضی دان لهستانی تبار مطرح شد.بر اساس نظریهء وی قوانین ساده اشکال پیچیده ایجاد می کنند.
 
مجموعه مندل بروت پیچیده ترین فرکتال است که تابع یکی ازساده ترین قوانین ریاضی است.قوانین آشفتگی در حد بی نهایت از یک فرمول ساده ریاضی بدست می آیند. 
 
فرکتال
 
واژه فرکتال مشتق از واژه لاتینی فراکتوس –به معنی سنگی که به شکل نامنظم
 
شکسته و خرد شده است- در سال 1975 اولین بار توسط بنوت مندل بروت
 
مطرح شد. برخال‌ها (فرکتال، فراکتال fractals)، ساختارهایی اند که خود را
 
در مقیاس کوچکتر تکرار می‌کنند. واژه برخال از دو پاره برَخ و ال ساخته شده
 
است.
 
برخ واژه فارسی برای کسر (fraction) است و پسوند ال پسوندی به معنای،
 
مرتبط با، است (مانند چنگال: مرتبط یا همشکل با چنگ پوشالم وط به پوشاندن،
 
سَنگال و جز اینها).
 
نشان دادن این ساختارها در قالب نگارین (گرافیکی) گاه اشکال نامنظم، نغز و
 
پیچیده‌ای را با فرمول‌های ساده‌ی ریاضی تولید می‌کند. برخالها از سال ۱۹۸۰
 
به بعد مورد نگرش واقع شده و هندسه نوینی به نام هندسه برخالی را پدید
 
آورده‌اند فرکتالها شکلهایی هستند که بر خلاف شکل های هندسه اقلیدسی به هیچ
 
وجه منظم نیستند. این شکلها اولا  سرتاسر نا منظم اند, ثانیا میزان بی نظمی آنها
 
در همه مقیاسها یکسان است.
 
با ملاحظه اشکال موجود در طبیعت مشخص می شود که هندسهء اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهرا بی نظم طبیعی نیست.                                   
 
میزان بی نظمی در همه مقیاسها یکسان است.
 
مندل بروت در سال 1975 اعلام کرد که ابرها به صورت کره نیستند,کوهها همانند مخروط نمی باشند, سواحل دریا دایره شکل نیستند , پوست درختان صاف نیست وصاعفه به صورت خط منظم حرکت نمی کند. جسم فرکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می شود به تعبیر دیگر خود متشابه است. وقتی به یک جسم فرکتال نزدیک می شویم میبینیم تکه های کوچکی از آن که از دور هچون دانه های بی شکلی به نظر می رسید , به صورت شکل مشخصی در می آید که شکلش کم و بیش همان شکلی است که از دور دیده میشود.
 
در طبیعت نمونه های فراوانی از فرکتالها دیده می شود. درختان, کوهها,رودها, لبه سواحل دریا,  سرخس ها,  گل کلم ها اجسام فرکتال هستند. بخش کوچکی از درخت که شاخه باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها,  گل کلم ها, صاعقه وسایر اجسام فرکتال عنوان نمود.
 
كوهها نمونه هايي از فركتال هاي طبيعی
 
نمونه اي از گسترش شهرها به صورت فركتال
 
نمونه هايي از ساخته هاي فركتالي انسان
 
بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز به صورت فرکتال می باشند. تراشههای سیلیکان, منحنی نوسانات بازار بورس, رشد وگسترش شهرها,مثلث سرپینسکی و…
ويژگيهاي فركتال
 
اشكال اقليدسي با استفاده از توابع اشيا و اشكال فركتال با فرآيندهاي پويا توليد مي‌شوند . فرآيندهاي پويا ، فرآيندهايي هستند كه داراي حافظه ميباشند و رفتار آنها به گذشته بستگي دارد . علاوه بر آن اشياي فركتال داراي خاصيت خود مانندي هستند . طول اين اشياء بي­نهايت است­كه در يك فضاي محدود محصور شده­اند .­مجموعه­هاي فركتال از زيرمجموعه‌هايي تشكيل شده اند كه اين زيرمجموعه­ها شامل مجموعه­هاي بزرگتر هستند . مجدداً اين مجموعه‌ها از زيرمجموعه­هاي كوچكتري تشكيل شده­اند . اين زير مجموعه­ها نيز شبيه مجموعه­هاي بزرگتر هستند . چنين ساختارهايي داراي ظرفيت اطلاعاتي زياد هستند در صورتي­كه ظرفيت اطلاعاتي اشياء اقليدسي بسيار محدود و شامل اطلاعات تكراري است .
 
مجموعه هاي فركتال قابليت توصيف رياضي بسياري از اشكال پيچيده و به ظاهر نامنظم در طبيعت را دارند ، به همين جهت مي توان هندسه فركتال را بيان رياضي از معماري طبيعت دانست
مكانيزم توليد اشياء فركتال
 
سيستم ها را از لحاظ رفتار نهايي و مجموعه حدي­شان مي­توان به 4 دسته تقسيم بندي نمود :
 
    سيستم هايي كه داراي نقطه تعادل هستند . مجموعه حدي اين سيستم ها در فضاي حالت تشكيل يك نقطه را مي دهند .
    سيستمهاي نوساني ، مجموعه حدي اين سيستم ها در فضاي حالت تشكيل يك منحني بسته را مي دهند .
    سيستم هاي شبه نوساني ، مجموعه حدي چنين سيستم هايي در يك محدوده حلقوي شكل از فضاي حالت محصور شده و به طور يكنواخت در اين محدوده توزيع شده اند و تشكيل يك چنبره را در فضاي حالت مي دهند .
    سيستم هاي آشوبگونه : مجموعه حدي اين سيستم ها داراي يك شكل هندسي ساده
    ( نقطه ، منحني بسته و چنبره ) نيست و تشكيل يك شي فركتال را مي دهند .
 
مسيرهاي حالت سيستم هاي آشوبگونه در فضاي حالت داراي طول بي نهايت هستند كه در يك فضاي محدود محصور شده اند و اين از اعجاز سيستم هاي آشوبگونه است . با توجه به ويژگي مجموعه حدي سيستم ها در فضاي حالت ، ظرفيت اطلاعاتي سيستم هايي كه داراي نقطه تعادل هستند ، محدود و منحصر به نقاط تعادل مي شود .
 
هر فرآيند تكراري و پويا باعث ايجاد ساختارهاي پيچيده فركتال نمي شود ، مكانيزم توليد چنين ساختارهايي ، پويايي آشوب است در حقيقت فركتال تصوير رياضي از آشوب است . 
 
دانه برفي Kock
 
يك مثلث متساوي الاضلاع را با طول L در نظر بگيريد . هر ضلع اين مثلث را به سه قسمت مساوي تقسيم كنيد و قسمتهاي وسط را حذف كنيد . سپس قسمتهاي برداشته شده را با دو پاره خط ، هر يك به طول  جايگزين كنيد . با تكرار اين فرآيند براي هر قطعه ، دانه برفي Kock در همه جا پيوسته است اما در هيچ جا مشتق پذير نيست . اين منحني داراي محيط بي نهايت با سطح محدود است . نكته قابل توجه اين دانه برفي با استفاده از يك فرآيند تكراري و پويا توليد شده است درصورتي كه اشياء اقليدسي با استفاده از فرآيندهاي ايستا توليد مي‌شوند
 
مثلث Serpinski
 
ZOOM
 
اين مثلث جزء يكي از معروفترين اشياء فركتال مي باشد . اين شي شامل مثلث بزرگي است كه در داخل آن بي نهايت مثلث كوچك وجود دارد . اين مثلث را به سادگي مي توان توليد كرد . يك مثلث متساوي الاضلاع تو پر را در نظر بگيريد چنانچه وسط هر ضلع و مثلث وسط را حذف كنيم و اين فرآيند را براي مثلث هاي باقيمانده تكرار كنيم ، در نهايت شكلي كه حاصل مي شود مثلث Serpinski ناميده مي شود و در هر مرحله شكلي به وجود مي آيد كه جزئي از شكل مرحله بعدي است ، لذا شكل خاصيت خود همانندي دارد . نكته قابل توجه اينكه مثلث Serpinski داراي سطح صفر است زيرا ميزان سطحي كه  از شكل مثلث اوليه برداشت شده است برابر با سطح اوليه مثلث مي باشد . در اين شكل خاصيت خود همانندي به خوبي ديده مي‌شود .
اوج پيشرفت معماري فركتال : 1978 ـ 1988
 
اثر اساسي فركتالي بنيت مندلبروت فرم ، فاصله و حجم نام داشت و اولين ويرايش زبان انگليسي آثار فركتالي او بود كه با وجود انتقادات بسيار ، در سال 1977 منتشر شد . گرچه مندلبروت تا كنون حدود 63 پروژه منتشر كرده ، ولي اثر رسمي تئوري كاوس ، با اين كار او شناخته مي شود . به هر حال ، مانند اثر اسطوره اي مرگ مدرنيسم كه انهدام خانه سازي Pruitt-Igoe در ياماساكي ، در سال 1972 را آشكار كرد ، اين پيدايش نيز براي تئوري كاوس بحث برانگيز است . چيزي كه روشن است اين است كه مندلبروت با فركتالهاي فرم ، فاصله و حجم ، نه تنها براي اولين بار مشاهداتش را از هندسه ابراز مي دارد ، بلكه مقام نخست را در يك حمله حساب شده و معتبر نسبت به هنر و تاريخ معماري به دست ميآورد . او مخصوصاً مقدمه‌اش را در كتاب ، با بحثي پيرامون مدل هاي معماري به قصد تفاوت قايل شدن بين هندسه اقليدسي و هندسه فركتالي به پايان مي رساند . در اين بحث او اين جمله را بيان مي دارد كه (( زواياي معماري ساختمان ميس وند روهه به اندازه گيري هاي اقليدسي برمي گردد ، در حالي كه ساختمانهاي دوره هنرهاي زيبا از نظر جنبه هاي فركتال بسيار غني هستند . )) با وجود اين كه اين اولين نمونه كار يك دانشمند يا رياضي دان نيست كه بدون علوم پيچيده و تخصصي وارد قلمرو معماري شده ، اولين تلاش شناخته شده در زمينه الحاق و ارتباط معماري با هندسه فركتال است .
 
كمتر از 20 ماه بعد از انتشار فركتال هاي (( فرم ، فاصله ، حجم )) پيتر آيزنمن براي اولين بار خانه a 11 را به نمايش گذاشت . چند هفته بعد ، در جولاي سال 1978 ، خانه a 11 در طراحيهاي آيزنمن كه در طول سمينار طراحي در ونيز توليد شده بود ، سوژه اصلي و مركزي شد  با اين كه اين پروژه به صورت عمومي تا آوريل 1980 به نمايش گذاشته نشد ، اولين اثر منتشر شده توسط يك معمار از نظريه پيچيدگي به شمار مي رود . آيزنمن به طور يژه معيار فركتالي را تعيين مي كند پردازشي كه او چنين توصيف فيلسوفانه اي از آن دارد : (( سه قضيه بي ثباتي يا مقطعي بودن كه با مابعدالطبيعه حاضر روبرو مي شود
 
، بازگشت پذيري كه با اصل موضوع روبرو مي شود  و خود شباهتي كه با موضوعات نمايشي و زيبايي روبرو مي شود . ))
 
خانه a 11 اثري از طرح­هاي L آن زمان آيزنمن است كه اين فرمها را در تناسبات عمودي و چرخشي پيچيده تركيب مي كند . L در حقيقت همان مربعي است كه به چهار قسمت تقسيم شده و يكي از اين چهار مربع حذف مي شود . آيزنمن اين شكل L را به عنوان نمادي از يك شكل كه نه مستطيل است و نه مربع ، بلكه ميانه اي بين آن دو است ، تلقي كرد . اين شكل سه بعدي در واقع همان مكعبي است كه يك هشتم از آن برداشته شده باشد و سه بعدي Lمانندي از آب درآيد . هر كدام از اين شكلهاي L مانند ، بنا به نظر آيزنمن ، هندسه­اي بي­اساس و متزلزل را به نمايش مي گذارند . شكلي كه بين تمام اشكال هندسي و يا اكثر آنها بلاتكليف است .
 
حفره هاي فرسايش يافته از دو L بسيار قديمي از خانه a 11 به هم برخورد مي كنند تا عمداً منظره اي بي مقياس را ، كه مي توانست در هر اندازه اي ايجاد شود ، به وجود آورند . اين همان چيزي است كه آيزنمن همواره در رقابت در خانه سازي واقع در ونيز براي آن تلاش مي‌كرد سپس آيزنمن يك سري از موارد هم سان برابر را با مقياس هاي مختلف در وسط ميدان شهر كانارگيو قرار داد . هر كدام از اين سوژه ها يكي از مقياس هاي خانه a 11 است كه براي مثال كوچكترين آنها به اندازه قد يك انسان است كه مشخصاً نمي‌تواند يك خانه باشد و نيز بزرگترين بسيار بزرگتر از يك خانه است . در اين ميان خانه اي متشكل از واحدهاي متعدد با اندازه هاي متفاوت براي خانه غير قابل استفاده است وجود چنين ساختمان هاي بي هدفي ، شكل اصلي آن را به خاطر مي آورد و بنابراين نقش يك مدل را بهتر مي نماياند و در واقع جزيي از معماري خود شباهتي و بازگشت به خود مي‌شود .
 
خانه a 11 از نظر مقياس بسيار منحصر به فرد است ، به طوري كه بارها فرم يك معماري فركتال را به خود گرفته است . طي 20 سالي كه از انتشار خانه a 11 آيزنمن مي گذشت ، بيش از دويست طراحي معماري و يا كارهايي مربوط به تئوري معماري منتشر شد كه ادعايي را به صورتي مربوط به جنبه هاي هندسه فركتال يا ناحيه مربوط به علوم پيچيده و تخصصي پي ريزي كرد و اين در حالي است كه بيش از 12 پروژه كه آيزنمن طراحي كرده بر اساس هندسه فركتال بوده و يكي از خصوصيات آن اين بوده كه شمار زيادي از معماران بين المللي هم چون اسميتت ، چارلز كري ، كوپ هيملبلا ، كارلس فراتر ، آراتاايسوزاكي ، چارلز جنكز ، كريستف لنگف ، دنيل بي اچ لايبرمن ، فميهيكو ماكي ، مورفوسيس ، اريك اون موس ، جين ناول ، فيليپ سمين ، كازو شينوهارا ، آلدو وهني ون ايك ، بن ون بركل ، كارلين بس ، پيتر كولكا ، آلريك كنيگز ، ايساكو يو شيدا ، كاترين فيندلي ، همگي از روش آيزنمن پيروي كردند . دو نمونه از پروژه هاي آيزنمن در طول اين مدت نكات مفيدي براي رجوع به معماري فركتال فراهم آورد . در پروژه سال 1985 آيزنمن به نام Moving Arrows , Eros And otherErrors يا به عبارت ديگر در پروژه رومنو و ژوليت ، نقطه بازگشتي در توسعه ايده هاي مناسب از علوم پيچيده به معماري وجود دارد . براي آيزنمن مقياس فركتالي با موضوعاتي از قبيل (( وجود ، اصل و زيبايي­ شناسي )) كه دربردارنده مفاهيمي چون برنامه ساخت و ساز براي اجراي آن است ، مواجه مي شود . با وجود اين كه اندازه و مقياس به شيوه هاي گوناگون در آثار و پروژه هاي قبلي آيزنمن نيز وجود داشته ، در پروژه (( رومنو و ژوليت )) اهميت ويژه اي مي يابد .
 
بت اسكاي اظهار مي كند كه آيزنمن طرح هاي خود را بيش از هر كسي به وسيله يك روش توسعه يافته توسط بنوت مندل بروت دانشمند كه خود همانندي يا انعكاس هاي مستقل ذاتي موجود در اشكال معين را نشان مي دهدپايه ريزي كرد . اين روش ، وابستگي معماري را به يك مقياس طبيعي و نرمال ، كه در تصور بشري وجود دارد ، بررسي مي كند .
 
آيزنمن درباره اين بحث مي كند كه پنج قرن است كه مناسبات اندام بشر منبعي براي معماري بوده است . اما بنا به تغييرات و توسعه هايي كه در تكنولوژي ، فلسفه و روانكاوي مدرن رخ داده ، تئوري انسان به عنوان معياري براي اندازه گيري همه چيز و به عنوان يك وجود محض و اجتناب ناپذير بيشتر از اين نمي تواند ادامه داشته باشد و مورد حمايت واقع شود ، حتي اگر بر معماري نوين و امروزي تاكيد داشته باشد . با توجه به تاثير تغييرات فرهنگي در معماري ، در اين تحقيق مبحث ديگري به نام مقياس نيز مورد بررسي قرار مي گيرد .
 
پروژه Moving Arrows , Eros And otherErrors نتيجه­بررسي وتناسب دو جانبه‌اي از معيار فركتالي و طرح داستاني رومنو و ژوليت است كه البته رومنو و ژوليت به سه نسخه مختلف داستاني توسط داپرتو ، بندلو و شكسپير طراحي شده است . آيزنمن اين داستان ادبي را به كار مي گيرد تا مواجه شدن واقعيت با افسانه و خيال را به نمايش بگذارد . او در عمل و اجراي اين طرح مي كوشد تا امكان اصلي اين قضيه ( مواجه شدن با واقعيت ) را انكار و بدين وسيله اين مبحث عرضي و قراردادي را بي ثبات و متزلزل كند . در واقع آيزنمن هندسه فركتالي را به كار مي گيرد تا معيار تعيين شده براي اين معماري انساني قرادادي را ، كه درمعماري مبحثي است كه مدتهاست عوض نشده ، از بين ببرد . آنتوني ويلدر اظهار مي كند كه هر دوي آين كوششها موفق بوده اند . شايد اوج جاذبه معماري فركتال آيزنمن (( پروژه كرال )) باشد كه آن را با كمك جك درياي فيلسوف طراحي مي كند .
 
آيزنمن معتقد است كه در مقياس طراحي ، جنبه­هاي تغييرات­زماني ، تغييرات حاشيه‌اي  و غيره نيز مطرح مي شوند . بنابراين زمزمه هايي نه فقط در مقياس ، بلكه در زمان رخ مي دهد كه نتيجه آن خود شباهتي است نه خودهمانندي . همانگونه كه بازتابهاي فراواني در مورد مقياس وجود داشته ، خود شباهتي و خود ارجاعي همگي در (( پروژه كرال )) وجود دارند در حالي كه امروزه اين اعمال بيشتر در مورد مسائل فلسفي انجام شده تا هندسي . مشخصاً (( پروژه كرال )) بيش از مقوله هاي هندسي از خانه a 11Moving Arrows , Eros And otherErrors تاثير پذيرفته است . اگر چه معماران در اواسط قرن هجدهم مشتاقانه هندسه فركتالي را پذيرفته بودند ، اما اين شرايط در اوايل قرن نوزدهم به سوي تحولي سريع پيش مي­رفت . البته نشانه‌هاي تغيير خيلي زودتر از اين زمان آشكار شده بود .
 
زوال هندسه فركتال : 1989 ـ 1999
 
با شروع سال 1988 بسياري از نويسندگان معماري ، عقايد همكاران و هم طرازان خود را مبني بر هندسه فركتالي و تئوري كاوس ( نظريه آشوب ) به تمسخر و انتقاد گرفتند . در اين زمان ، مايكل ، انتقاد خود را در مورد كار كوپ هيملبلا با هشداري مبني بر قصد خود درباره بازگشت دوباره به بحث علم پيچيدگي و تخصصي و فركتالي آغاز مي كند . نه تنها رفتارش نوعي پشيماني پنهان او را درباره اين موضوع نشان مي دهد ، بلكه او حتي گامي غير عادي در جهت تلاش براي توجيه اعمالش بر مي دارد . بدين گونه كه ادعا مي كند در اين حرفه ماهر است كه البته به دور از روش مجادله­هاي اوليه اش به نظر مي­رسد . در كتاب Post Rock Propter Rock كه تاريخچه كوتاهي از كوپ هيملبلا است ، سركين اظهار مي كند كه نظريه كاوس ، به ويژه در مكتوبات قبلي او ، درباره معماري ممكن است امروزه مانوس­تر باشد . كمتر از دو سال بعد آيزنمن هندسه فركتالي را با هندسه اقليدسي درآميخت و يك هندسه بيمار آفريد كه البته آسيب هر كدام به يك اندازه بود . در اين زمان هندسه فركتالي مجازاً به عنوان يك ويروس يا انگلي كه به معماري ضربه وارد كرد و آسيب رساند توصيف مي شود كه هندسه اصطلاحاً اقليدسي پادزهر آن است . اين اتفاق شروع به تغيير و دگرگوني كرده بود و رابطه بين معماري و علوم پيچيده به شدت با بدبيني و شكاكيت و ترديد بررسي مي شد .
 
تا سال 1993 تعدادي­از معماران با قاطعيت شروع به­انكار هر رابطه­اي بين فلسفه طراحي علوم پيچيده و هندسه فركتال كردند . براي نمونه ايرانيان فارغ التحصيل شده از دانشگاه كرنل گيسو و مژگان حريري ، بيانيه سال 1993 خود را براي معماري با اين مضمون آغاز مي كنند كه ما به تئوري كاوس اعتقاد نداريم . از اين رويه ها پيروي نمي كنيم و از اين هنر عاميانه و پرمدعا و بي ارزش بيزاريم . حريري ها با برجسته و پر رنگ تر نشان دادن اين سه كلمه ، در جمله قبل ، نه تنها به اين موارد در بحثشان تاكيد مي كنند بلكه اين طور نتيجه مي گيرند كه تئوري كاوس و هندسه فركتالي زائده اي است كه براي آنها با (( عاميانه و بي ارزش )) بودن تفاوتي ندارد .
 
آنها در مورد انكار هر گونه رابطه بين معماري شان و علم پيچيدگي تنها نيستند . شايد يكي از دلايل اين انكار نمايشي و مهيج را بتوان در افزايش شمار توصيفات و شرح هاي مضحك درباره بين معماري و هندسه فركتال يافت . پل شفرد اظهار مي كند كه دليل اين كار طي ارزيابي مستمر در سال 1994 (( جنون ( يا عشق )مخالفت )) با تئوري معماري اعلام شده است . شفرد براي شناساندن و روشن ساختن آشفتگي و نادرستي اين قضيه پنج شرح رسوايي آور درباره نقش اين معماري بي نام و نشان تهيه كرد . اولين شرح او كه به نظر تركيبي از نظريات پيتر آيزنمن ، دنيل ليبسكيند و موروسيس است با توهيني نه چندان علني شروع مي شود .
 
در آن زمان آلبرتو پرز گومز معماري را به عنوان يك علم قلمداد كرد . در كنفرانس هاي 1994 كانادا او مي كوشيد طي تلاشس مجدانه راجع به تئوري كاوس و هندسه فركتالي به عنوان بخشي از ادامه اظهاراتش درباره تفاوتهاي بين تفاسير پديده شناسي و تئوري هاي مربوط به علم بحث كند . پرز با علم به اين كه كاري كه دارد انجام مي دهد سنتي و از مد افتاده است ، اظهاراتش را در مورد هندسه فركتال با اين عبارت شروع مي كند كه قبل از رسيدن به هدف اصلي اين پروژه ترجيح مي دهد ابتدا اهميت هاي شگفتي آور تئوري كاوس را براي معماري فاش كند . عنوان اين مطلب پرز كه با تئوري كاوس و هندسه فركتالي مرتبط است ، نمونه مرجع و شايان تقليدي از دقت و كمال است . او مي گويد : تئوري كاوس در بردارنده مفهومي جالب و در عين حال استوار است . ما دريافته ايم كه تصورات مشابه قديمي كه معماري و دانش سنتي بر پايه آنها  استوار بود چندان هم روياهاي احمقانه اي نبوده اند . در واقع مي توان در توصيف معماران
 
گفت كه آنها كساني هستند كه با اين عقايد و روش ها بازي مي كنند و آنها را براي قانوني كردن كارها و مستحكم ساختن فلسفه هاي خود به كار مي گيرند .
 
در همان سال ( 1994 ) ، كريستف لنگ نوشت كه ابتكار خيلي مهمتر از دانش است به طوري كه او از اين كه سطح نشريه را پايين آورده و راجع به هندسه فركتال بحث كند بسيار عذر خواهي مي كند . او مي گويد : (( دنياي ما روز به روز فركتالي تر مي شود . چرا افرادي مثل
(( پرز )) و (( لنگف )) بايد به جرم بحث درباره هندسه عذر خواهي كنند . )) شايد بتوان دليل آن را در رشد سريع تمايل به پيچيدگي يافت . طبق عقيده پل الن جانسون تئوري كاوس ممكن است فقط در دهه 1970 به شكل قاعده درآمده و مورد قبول واقع شده باشد . اما در همين يك دهه ، تبديل به حرفه و تجارتي جهاني شده بود . وقتي در سال 1955 چارلز جنكز مقاله اي جنجال برانگيز در معماري براي پايه گذاري امري جديد و فركتال گونه منتشر كرد ( مقاله اي كه از مطالعات علوم پيچيده و تخصصي سرچشمه مي گرفت ) با انتقاداتي روبرو شد . حقيقت مويد اين مطلب است كه مقاله او براي معماري فركتالي پيچيده و تخصصي تنها به وسيله انتقادات اصلاح نشد . بلكه گويي به طور گسترده توسط حرفه معماري ، كه در حال حاضر مورخ هندسه فركتالي تصور مي شود ، فراموش شد .
 
در سال 1996 وقتي كارل بوويل كتاب تحقيقي پر نفوذ خود را به نام هندسه فركتال در معماري و طراحي منتشر كرد ، مرحله جديدي در رابطه عجيب و متناقض بين معماري و نظريه آشوب پا به عرصه وجود گذاشت . بوويل بيش از هر نويسنده ديگري در معماري ، خود را در رياضيات آشوب (پيچيدگي ) غرق كرد . او اين طور استدلال مي كند كه هندسه فركتال وسيله خوبي براي معماري است ، اما به شرطي كه عاقلانه استفاده شود .
 
بالاخره در قرن نوزدهم شركت معماري يوشيدا يك سري پروژه هاي بسيار خلاق توليد كرد و در آنها از هندسه فركتال اشكال فضايي خارق العاده اي خلق كرد . پروژه ت كه يك پلان بزرگ شهري است ، هندسه فركتال را اختصاصاً به اين نام به نمايش مي گذارد . پروژه ت عمده ترين و اصلي ترين وسيله حمل و نقل در توكيو است كه در قسمت مياني جاده ها و ريل راه آهن قرار گرفته است . اين طرح تصور (( شهر همان خانه )) را كه به الگوها و موارد مشابه در مقياسهاي متعدد اعتبار مي بخشد تجديد كرد . اين همان درك و تخصصي است كه هندسه فركتال روي بسياري از مقياس ها اعمال مي كند و البته نبود آن در بسياري از كارهاي معماري ، كه بخشي از فركتال محسوب مي شوند ، احساس مي شود .
 
در پروژه S بالاخره يوشيدا موفق به پيشنهاد يك مجموعه فركتالي مي وشد تا بتواند هم سيستم هاي (( پراكنده )) و هم (( يك جا )) را كه به طور هم زمان روي بسياري از مقياس ها اجرا مي شود ، متحد كند . گذشته از آن كه اين طرح براي حل ترافيك جاده ها و پياده روها تهيه شد ، باعث جمع شدن خيل عظيم افرادي كه در سطح شهر رفت و آمد مي كنند نيز شد . نتيجه آن ، يك منطقه و ناحيه جديد است كه وجه مشترك بسياري از معيارها را در بردارد .
نتيجه:
 
تقريباً مدت 20 سال يك رابطه پيچيده ، متغير و طولاني بين معماري و هندسه فركتال وجود داشته است . اين وابستگي در طول اين مدت ثابت نبوده و به صورتي دقيق ، نمادين و تقريباً منطقي تغيير مي يافته . در زمان هاي بعد تاكيد بر روي قسمت هاي خاصي از هندسه رخ داد و قسمت هاي بزرگي از آرايش اصلي و اوليه آن جدا شد . شمار كمي از نويسندگان معماري از قبيل پيتر فولر ، چارلز جنكز ، جان كاواناگ ، پل الن جانسون و نرمن كرو بر اين نكته واقف هستند كه رياضي دانان به معماري تجاوز كرده اند . اما فقط پرز گومز آن هم به طور غير مستقيم به اين رابطه با ديد انتقادي نگاه كرده و به طرز زيركانه اي چنين نتيجه گيري مي كند كه ديدگاه مندل بروت راجع به معماري بسيار متفاوت از عقيده پرنس چارلز است و اين كه رابطه بين هندسه و معماري او تصور مي كنند كاملاً سنتي و قابل تقليد است . مثال هاي طرف مقابل مبني بر اين كه رياضي دانان متوجه شده اند كه معماري از هندسه فركتالي تشكيل شده بسيار غير عادي تر است . به نظر مي رسد كه فقط پيتر كاوني و راجرهاي فيلد ژورناليست نسبت به اين حقيقت آگاه باشند كه معماران در حال توسعه آنها كه بسيار دادن شرح و تفسير خود از هندسه فركتال و نظريه آشوب هستند . در اوايل قرن نوزدهم نه تنها همه معماران از فركتالها روي برنگرداندند بلكه حتي در پنج سال آخر آن ، علايم تمايل دوباره به پيچيدگي و آشوب بسيار وسوسه انگيز شد . اين بار مي توان حدس زد كه  اين رابطه به چه جهتي تغيير پيدا خواهد كرد . تا زماني كه اين تاريخچه كلي ، كه از قسمت هاي پراكنده تشكيل شده ، يك ديد منطقي را از تغييراتي كه اتفاق افتاده است ثبت كند ، براي توضيح تمام نقش هايي كه بايد هندسه فركتال در معماري يا معماري در هندسه فركتال بازي كند ، كفايت نخواهد كرد.و...